在高中课本及大学的某些专业所选用的数学教材中，对于集合论的论述是朴素的，非公理化的。但是，早在n久以前，集合论就已经被公理化了。X6Khi
同时，有必要指出的是：在本书中，为了避免歧义，不会采取大多数书中使用的写法（如：a,b∈N），本书中，会代之以“a∈N,b∈N”的写法。而且，会大量使用括号以尽量保证不产生歧义。X6Khi7
对于集合论的公理化，解决了我们曾经遇到的悖论（如罗素悖论），但是，我们不能保证，未来不出现新的悖论，如果集合论公理有新的发展，请提醒作者更新，作者本人也会随时留意。X6Khi
这里，我们将会引入多些的公理，导致从某些公理推导出另一个公理的情况存在，但是这是没有害处而且有助于理解的。X6Khi
3.若a为对象，则存在集合{a}，若a，b均为对象，则存在集合{a，b}X6Khi
4.设A为集合，对于任意的x∈A，若P(x)是一个关于x的命题，则存在一个集合：{x∈A|P(x)}，使得对于任意的对象y，有：X6Khi1
y∈{x∈A|P(x)} 等价于 （y∈A且P(y)成立）X6Khi
5.给定集合A，B，存在一个集合A∪B，A∪B由属于A的元素，属于B的元素，同时属于A和B的元素组成。即：X6Khi
x∈A∪B 等价于 （或者x∈A成立，或者x∈B成立，或者两者都成立）X6Khi
6.设A为集合，对于任意的对象x∈A和任意的对象y，若命题P(x,y)依赖于x和y，使得对于每个x∈A存在至多一个y，使得P(x,y)成立，那么存在一个集合：X6Khi
z∈{y|P(x,y)对于某x∈A成立} 等价于 （对于某x∈A，P(x,z)成立）X6Khi
7.存在一个集合N，其元素叫做自然数，0是N中的一个对象，而且每个自然数n∈N所指定的满足皮亚诺公设的对象n的后继也在N中。X6Khi
8.如果A是非空集合，那么A至少含有一个元素x，x要么不是集合，要么是与A不同的集合X6Khi
9.设A，B是集合，那么存在一个集合，记作B^A（就是B右上一个A），它由从A到B的一切函数组成，即：X6Khi5
f∈B^A 等价于 （f是一个以A为定义域以B为值域的函数）X6Khi
10.设A是集合，它的每个元素本身是一个集合，那么存在一个集合∪A，∪A的元素是A的元素的元素，即：X6Khi
事实上，公理10和公理3合在一起，可以得出公理5（为什么？）X6Khi6
上面这些公理，被称作策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory）当不含选择公理时，记作ZF，含选择公理的，记作ZFC。那么，选择公理是什么呢？X6Khi
选择函数：设f是一个集族上的函数，那么，对于所有在集族X中的集合s，f(s)是s的一个元素X6Khi
信赖选择公理的一个理由是，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）证明：一个使用选择公理证明的结果，绝对不会与不使用选择公理证明的结果相矛盾X6Khi