3 更进一步的探索

　　在上一章中，我们不加解释的引入了一大堆公理。lrcpj

　　在这一章中，我将会对它们中的前面几条加以说明。下一章将会说明另外的。lrcpj

　　接下来，我们引入两个基本的定义。lrcpj

　　定义1.3.1：lrcpj

　　集合A，B是相等的，当且仅当（集合A的每个元素都是集合B的元素 并且 集合B的每个元素都是集合A的元素），若集合A，B相等，记作A=Blrcpj

　　*此处括号是为了防止层次不明，以后不再单独说明lrcpj

　　换句话说：lrcpj

　　设A，B为集合，有：lrcpj

　　A=B 等价于 (对于每一个x∈A，有x∈B，并且对于每一个y∈B，有y∈A)lrcpj

　　比如：lrcpj

　　{1,2,3}和{1,2,3}是相等的，它们也与{x∈N|0　　而且，集合{1,2,3,3,3,2}和集合{1,2,3}也是相等的，虽然元素重复了，但是，根据定义，它们仍然相等。重复的元素2,3并不改变它们归属于这个集合的状态。不过，我们一般不考虑这种集合。lrcpj1

　　定义1.3.2:lrcpj

　　设A，B为集合，那么，A和B的并集记作A∪B，A∪B由属于A的元素，属于B的元素，同时属于A和B的元素组成，即：lrcpj

　　(k∈A∪B) 等价于 (或者k∈A成立，或者k∈B成立，或者两者都成立)lrcpj

　　OK，接下来，我们证明一下，在上一章中提出的一个问题（从ZF公理10和3得到公理5），它必须被分成两种情况：lrcpj

　　第一种情况：A，B不同时为空集合，证明如下lrcpj

　　1 设A，B为集合，且A，B不同时为空集.lrcpj

　　2 A，B为对象. (1，ZF公理1)lrcpj

　　3 存在集合X={A,B}. (2，ZF公理3)lrcpj

　　4 存在集合∪X，且∪X中至少含有一个元素. (1，3，ZF公理10)lrcpj

　　5 设k为任意对象，(k∈∪X) 等价于 (或者k∈A成立，或者k∈B成立，或者两者都成立). (4，ZF公理10)lrcpj

　　6 (或者k∈A成立，或者k∈B成立，或者两者都成立) 等价于 (k∈A∪B). (并集的定义）lrcpj

　　7 (k∈∪X) 等价于 (k∈A∪B). (5，6)lrcpj

　　8 对于每一个x∈∪X，有x∈A∪B，并且对于每一个x∈A∪B，有x∈∪X. (7)lrcpj

　　9 ∪X=A∪B. (8，集合相等的定义)lrcpj

　　10 A∪B存在. (9，4)lrcpj

　　第二种情况：A，B均为空集，证明如下lrcpj

　　1 设A，B均为空集lrcpj

　　2 A∪B=∅lrcpj

　　3 A∪B存在lrcpj

　　在第一种情况中，我们在“."后面的括号里写上了依据，第一种情况下的证明是符合正式证明的格式的。lrcpj

　　试着补上第二种情况下证明的依据。lrcpj