1 基础

　　这一卷，可能会有些简短，因为内容并不是很多。X6Nr9

　　度量空间是n维欧几里得空间E^n的推广。而且它也可以过渡到拓扑空间，所以我们有必要学一下这玩意。X6Nr9

　　直观上，我们可以构做一个空间直角坐标系，这是一个三维的欧几里得空间。我们假设两个点X（x1,x2,...,xn），Y（y1,y2,...,yn）,那么，定义这两点之间的距离为：X6Nr9

　　d（X,Y）=[(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+...+(xn-yn)^2]^(1/2)X6Nr9

　　由于此处打出和号可能存在乱码，所以用比较长的形式表述了。X6Nr9

　　然后，我们用R^n表示E^n中点的集合，特别的，只有当我们在R^n上定义了距离d之后，我们才能说这两个东西丢一起是E^nX6Nr9

　　接下来，我们引入度量空间的定义。X6Nr9

　　定义1.8.1X6Nr9

　　设S是一个集合，X，Y和Z是S的任意元素且称为点，同时，取一个函数u：S×S ⟶ R，使得u满足：X6Nr9

　　1.u恒大于等于0且u（X，Y）=0 等价于 X=YX6Nr9

　　2.u（X，Y）=u（Y，X）X6Nr9

　　3.u（X，Z）≤u（X，Y）+u（Y，Z）X6Nr9

　　点集S和函数u一起，构成了一个度量空间，记作（S，u），u称为（S，u）的距离函数或者度量，u（X，Y）称为点X与点Y的距离。X6Nr9

　　接下来，请大家证明一下，n维的欧几里得空间是一个度量空间。X6Nr9