7 笛卡尔积 3

　　好的，我们现在已经建立了公里化集合论的基础，我们就在这一章中讨论集合的笛卡尔积，在某些教科书中，它被称为卡氏积，但是它们实际上是同一样东西。43EKj

　　我们先做几个定义：43EKj

　　定义1.7.1（有序对）43EKj

　　由两个元素x，y按照一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对，记作（x，y），其中x是它的第一元素，y是它的第二元素43EKj1

　　定义1.7.2（有序n元组）43EKj

　　一个有序n元组（n大于等于3）是一个有序对，其中第一元素是一个有序n-1元组，一个有序n元组记作（x1,x2,...,xn）且它实际上是（（x1,x2,...,xn-1）,xn）43EKj

　　这里，我们定义第一元素是一个n-1元组，实际上，就已经为这个有序n元组中的所有元素安排了次序（为什么？）43EKj8

　　定义1.7.3（笛卡尔积）43EKj

　　设A，B为集合，定义A，B的笛卡尔积为：43EKj

　　A×B={（x，y）| x∈A且y∈B}43EKj1

　　这里其实可以把且替换成数理逻辑的符号，是更没有歧义的，但是有鉴于这超出了本书的范围，故不进行讨论。43EKj

　　定义1.7.4（集合的基数）43EKj

　　一个集合的基数是这个集合中元素的个数，若A是集合，则这个集合的基数记作card（A）43EKj

　　我们给出一个例子：43EKj

　　设A={a，b}，B={1,2,3}，则：43EKj

　　A×B={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}43EKj

　　B×A={(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)}43EKj

　　一般的，card（A×B）等于card（B×A）且等于card（A）∙card（B）43EKj2

　　关于集合的笛卡尔积，有几个重要的性质：43EKj

　　A×∅=∅×A=∅43EKj

　　如果A≠B且A，B都非空，那么，A×B≠B×A43EKj1

　　当A，B，C都非空时，有A×(B×C)≠(A×B)×C43EKj1