我们接下来，对于并集进行更深一步的探讨。lqua8
首先，我们给出一个引理：lqua8
引理1.6.1lqua8
若A，B，C是集合，则：lqua8
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；A∪B=B∪Alqua8
第一个式子证明如下lqua8
一、当A，B，C不全为空集时：lqua8
1.设A，B，C为集合且不全为空集，x是集合(A∪B)∪C的元素lqua8
2.x∈A∪B或x∈Clqua8
3.若x∈C，则x∈B∪C，于是x∈A∪(B∪C)lqua8
4.若x∈A∪B，则x∈A或x∈B；lqua8
若x∈A，则x∈A∪(B∪C)；若x∈B，则x∈B∪C，于是x∈A∪(B∪C)lqua8
5.对于每个x∈(A∪B)∪C，有x∈A∪(B∪C)lqua8
6.设y是集合A∪(B∪C)的元素lqua8
7.y∈A或y∈B∪Clqua8
8.若y∈A，则y∈A∪B，于是y∈(A∪B)∪Clqua8
9.若y∈B∪C，则y∈B或y∈C；lqua8
若y∈B，则y∈A∪B，于是y∈(A∪B)∪C；若y∈C，则y∈(A∪B)∪Clqua8
10.对于每个y∈A∪(B∪C),有y∈(A∪B)∪Clqua8
11.(A∪B)∪C=A∪(B∪C).（5,10，集合相等的定义）lqua8
请试着补上第1~10步的依据lqua8
二、A，B，C全为空集时：lqua8
1.设A=B=C=∅lqua8
2.(A∪B)∪C=A∪(B∪C)=∅lqua8
试着补上证明的依据。lqua8
事实上，几乎所有教科书都没有对于A，B，C全为空集的情况进行严谨的证明，但是，这虽然是“明显的”“显而易见的”，然而，在我的眼里，还是需要证明的。lqua8
第二个式子证明如下：lqua8
一、A，B不全为空lqua8
1.设A，B为集合且不全为空集lqua8
2.若x∈A∪B，则x∈A或x∈B；lqua8
当x∈A时，x∈B∪A；当x∈B时，x∈B∪Alqua8
3.当x∈A∪B时，x∈B∪Alqua8
4.若x∈B∪A，则x∈A或x∈B；lqua8
当x∈A时，x∈A∪B；当x∈B时，x∈A∪Blqua8
5.当x∈B∪A时，x∈A∪Blqua8
6.A∪B=B∪Alqua8
二、A，B全为空lqua8
1.设A=B=∅lqua82
2.A∪B=B∪A=∅lqua82