我们先给出一个引理：43heJ
引理1.5.1:43heJ
对于任意的集合S，∅⊆S43heJ
证明：43heJ
1.假设存在集合S，∅⊈S，则存在x∈∅且x∉S43heJ
2.任意元素x∉∅，与假设矛盾43heJ
3.对于任意的集合S，∅⊆S43heJ
OK，接下来，我们给出上一章习题的证明：43heJ
143heJ
一、A不为空集43heJ
1.设A，B，C为集合且A不为空集，且A⊆B，B⊆C；x为集合A的一个元素，即x∈A.43heJ
2.对于任意的x，有x∈B.（1，子集的定义）43heJ
3.对于任意的y∈B，有y∈C.（1，子集的定义）43heJ
4.x∈C.（2,3）43heJ
5.A⊆C.（4，子集的定义）43heJ
二、A为空集43heJ
1.设A，B，C为集合且A为空集.43heJ
2.A=∅.（1）43heJ
3.A⊆C.（引理1.5.1）43heJ
243heJ
一、A，B都不为空集43heJ
1.设A，B为集合且都不为空集，且A⊆B，B⊆A.43heJ
2.对于每个x∈A，有x∈B，且对于每个y∈B，有y∈A43heJ
3.A=B43heJ
二、A，B均为空集43heJ
1.设A，B均为空集43heJ
2.A=B43heJ1
试着补上证明的依据。43heJ
这里，A，B中的一个为空集的情况，会直接导出一个矛盾，因为如果A为空，B非空，那么B⊆A就是不可能的43heJ
343heJ
一、A不为空集43heJ
1.设A，B，C为集合且A不为空集，A⊊B且B⊊C43heJ
2.对于每个x∈A，有x∈B，且集合B至少含有一个元素h∉A43heJ
3.对于每个y∈B，有y∈C，且集合C至少含有一个元素k∉B，于是k∉A43heJ
4.对于每个x∈A，有x∈C，且集合C至少含有两个元素h，k；h∉A，k∉B且k∉A43heJ
5.A⊆C且A≠C43heJ
6.A⊊C43heJ
二、A为空集43heJ
1.设A为空集，B，C为集合，A⊊B且B⊊C43heJ
2.B中至少存在元素h43heJ
3.C中至少存在元素h，k43heJ
4.∅⊆C，∅≠C43heJ
5.A⊊C43heJ
试着补上证明的依据43heJ